Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}\) trong tam giác vuông \(ABC\) với \(\angle A = 90^\circ\) và \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống cạnh \(BC\), ta có thể sử dụng một số tính chất của tam giác vuông.

1. **Gọi các cạnh:**
- Gọi \(AB = c\), \(AC = b\), và \(BC = a\).
- \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\).

2. **Sử dụng định lý Pitago:**
- Theo định lý Pitago, ta có:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2 \quad (1)
\]
\[
AH^2 + CH^2 = AC^2 \quad (2)
\]

3. **Tính AH theo BH và CH:**
- Từ (1) ta có:
\[
AH^2 = c^2 - BH^2
\]
- Từ (2) ta có:
\[
AH^2 = b^2 - CH^2
\]

4. **Đặt hai biểu thức cho \(AH^2\) bằng nhau:**
\[
c^2 - BH^2 = b^2 - CH^2
\]
\[
BH^2 - CH^2 = b^2 - c^2
\]

5. **Biểu diễn các biến:**
- Sắp xếp lại:
\[
BH^2 = CH^2 + b^2 - c^2
\]

6. **Áp dụng định lý đồng dạng:**
- Xét hai tam giác \(ABH\) và \(ACH\):
- Tam giác \(ABH \sim ACH\), do có chung \(\angle A\) và \(\angle HAB = \angle HAC\) (cùng vuông).
- Theo tỉ lệ đồng dạng, ta có:
\[
\frac{BH}{CH} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{BH}{CH} = \frac{c}{b}
\]

7. **Bình phương hai vế:**
\[
\left(\frac{BH}{CH}\right)^2 = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2 \Rightarrow \frac{BH^2}{CH^2} = \frac{AB^2}{AC^2}
\]

Cuối cùng, từ đây suy ra:
\[
\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}
\]

Vậy ta đã chứng minh được tỉ lệ cần thiết.