Để tính giá trị của \( A \), ta có dãy số sau:

\[
A = \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{24} + \cdots + \frac{2}{768}
\]

Ta có thể rút gọn từng phần tử của dãy như sau:

\[
A = 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \cdots + \frac{1}{768} \right)
\]

Nhận thấy rằng từng phần tử là những hạng số của một dãy số hình thức:

\[
\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{24}, \ldots
\]

Những số này có thể biểu diễn dưới dạng phân số giảm dần, hay cụ thể hơn là:

\[
\frac{1}{2^n \cdot 3} \quad \text{với } n = 0, 1, 2, 3, \ldots
\]

Chúng ta có thể tính giá trị tổng quát của tổng trên cho đến \( n = 8 \) (vì \( 2^8 = 256 \), 768 là đơn vị cuối).

Tổng số hạng từ \( 0 \) đến \( n \) là:

\[
\sum_{n=0}^{8} \frac{1}{2^n \cdot 3} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{8} \frac{1}{2^n}
\]

Biểu thức \( \sum_{n=0}^{k} x^n \) là tổng của một dãy số hình học với công số \( r = \frac{1}{2} \), có công thức:

\[
S_n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}
\]

Áp dụng vào đây:

\[
\sum_{n=0}^{8} \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^9}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{512} \right) = 2 \left( \frac{511}{512} \right) = \frac{1022}{512} = \frac{511}{256}
\]

Cuối cùng, suy ra tổng \( A \):

\[
A = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{511}{256} = \frac{1022}{768} = \frac{511}{384}
\]

Vậy \( A = \frac{511}{384} \).