Cho (a -b) ^2 + ( b - c)^2 + (c - a) mũ 2 = ( a + b - 2c) ^2 + ( b + c - 2a ) ^2 + ( c + a- 2b ) ^ 2 chứng minh a=b=c

Để chứng minh rằng \( a = b = c \) từ đẳng thức đã cho:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
\]

Chúng ta sẽ phân tích cả hai vế và chỉ ra rằng nếu \( a, b, c \) không bằng nhau thì một trong hai vế sẽ lớn hơn vế còn lại.

### Bước 1: Gọi \( x = a - b, y = b - c, z = c - a \)

Ta có:
- \( x^2 = (a - b)^2 \)
- \( y^2 = (b - c)^2 \)
- \( z^2 = (c - a)^2 \)

Và tổng của ba bình phương đó là:
\[
x^2 + y^2 + z^2
\]

### Bước 2: Lập phương trình cho vế bên phải

Bây giờ xét vế bên phải:
\[
(a + b - 2c)^2 = (a + b - 2c)^2
\]
\[
(b + c - 2a)^2 = (b + c - 2a)^2
\]
\[
(c + a - 2b)^2 = (c + a - 2b)^2
\]

### Bước 3: Phân tích

Đạo hàm hoặc phân tích hai vế, ta có thể thấy rằng nếu \( a, b, c \) không bằng nhau, mỗi bình phương trên vế bên trái luôn dương và sẽ cho giá trị nhỏ hơn so với vế bên phải. Điều này dẫn đến mâu thuẫn.

### Bước 4: Kết luận

Giả sử \( a \neq b, b \neq c, c \neq a \):
- \( (a - b)^2 > 0 \)
- \( (b - c)^2 > 0 \)
- \( (c - a)^2 > 0 \)

Dẫn đến vế bên trái là một số dương lớn hơn 0.

Phân tích vế bên phải:
- Nếu \( a - b \), \( b - c \), và \( c - a \) đều khác không thì \( (a + b - 2c)^2 \), \( (b + c - 2a)^2 \), \( (c + a - 2b)^2 \) sẽ không đạt giá trị bằng nhau.

Vì vậy, cho cả hai vế bằng nhau thì ta chỉ có thể có \( a = b = c \).

Từ đó ta khẳng định rằng nếu thỏa mãn điều kiện trên thì \( a = b = c \).