Để tìm \( x \in \mathbb{Z} \) để biểu thức \( Q = |x - 2| + |x - 8| \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần phân tích biểu thức này theo các khoảng:

1. **Xác định các điểm tới hạn**: Các điểm tới hạn của biểu thức là \( x = 2 \) và \( x = 8 \). Chúng ta sẽ chia các khoảng như sau:
- Khoảng 1: \( (-\infty, 2) \)
- Khoảng 2: \( [2, 8] \)
- Khoảng 3: \( (8, +\infty) \)

2. **Phân tích từng khoảng**:
- **Khoảng 1: \( x < 2 \)**:
\[
Q = (2 - x) + (8 - x) = 10 - 2x
\]
- **Khoảng 2: \( 2 \leq x \leq 8 \)**:
\[
Q = (x - 2) + (8 - x) = 6
\]
- **Khoảng 3: \( x > 8 \)**:
\[
Q = (x - 2) + (x - 8) = 2x - 10
\]

3. **Tính giá trị tại các điểm tới hạn**:
- Ta có \( Q \) tại \( x = 2 \): \( Q = 6 \)
- Ta có \( Q \) tại \( x = 8 \): \( Q = 6 \)

4. **So sánh giá trị tại các khoảng**:
- Trong khoảng \( (-\infty, 2) \), \( Q \) sẽ tăng khi tiến đến \( x = 2 \).
- Trong khoảng \( (8, +\infty) \), \( Q \) sẽ tăng khi \( x \) lớn hơn 8.

5. **Kết luận**:
Biểu thức \( Q = |x - 2| + |x - 8| \) đạt giá trị nhỏ nhất là 6 và giá trị này đạt được tại \( x = 2 \) và \( x = 8 \).

Vậy \( x = 2 \) hoặc \( x = 8 \) là các giá trị của \( x \) trong \( \mathbb{Z} \) để biểu thức \( Q \) đạt giá trị nhỏ nhất.