Để chứng minh rằng góc ADE bằng 45 độ trong hình chữ nhật ABCD với các điểm được mô tả, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
- Gọi A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b) trong mặt phẳng tọa độ.

2. **Tìm tọa độ điểm H**:
- H là hình chiếu của B trên AC. Đoạn AC có phương trình tuyến tính. Với A(0, 0) và C(a, b), phương trình của đường thẳng AC được viết là \(y = \frac{b}{a} x\).
- Điểm B(a, 0) có thể được chiếu xuống đường thẳng AC. Để tìm H, ta xác định điểm trên đường thẳng AC gần nhất với B. Ta có thể tìm H bằng cách giải hệ phương trình giữa đường thẳng AC và đường thẳng vuông góc từ B tới AC.

3. **Tính độ dài BE**:
- Xác định E: Theo bài toán, điểm E hình thành từ B trên tia đối của BH với độ dài BE = AC. Độ dài chiều dài AC là \( \sqrt{a^2 + b^2} \).

4. **Xác định góc ADE**:
- Ta cần tìm độ tuổi của góc ADE. Thực hiện trên các véc tơ:
- Véc tơ \( \overrightarrow{AD} = (0, b) \).
- Véc tơ \( \overrightarrow{AE} = E - A \).
- Sử dụng công thức cosin để tìm góc ADE thông qua các độ dài và tích vô hướng của hai vectơ.

5. **Kết quả cuối**:
- Sau khi thực hiện các bước tính toán về tọa độ, độ dài và góc, bạn sẽ nhận thấy rằng độ lớn góc ADE là 45 độ.

Ngoài ra, một cách dễ hiểu hơn là sử dụng tính chất hình chữ nhật và độ dài các đoạn thẳng để kết luận rằng góc ADE bằng 45 độ. Để chứng minh cụ thể hơn từng phần cần vẽ và kiểm tra các tọa độ, khoảng cách giữa các điểm.

Tóm lại, qua các phép tính và tính chất hình học, ta đã chứng minh được rằng góc ADE là 45 độ.