Chúng ta sẽ chứng minh từng phần trong yêu cầu của bài toán.

### a) Chứng minh tam giác MBC đồng dạng với tam giác MCK

Ta sẽ chứng minh rằng \( \triangle MBC \sim \triangle MCK \).

1. Gọi \( \angle BCK = \alpha \) (theo giả thiết).
2. Gọi \( \angle ABM = \alpha \) (theo giả thiết).
3. Do \( \triangle ABC \) cân tại \( A \) nên \( \angle ABC = \angle ACB \).
4. Ta có \( \angle MBC = \angle MAB \).
5. Từ đó, ta thấy \( \angle MBC + \angle BCK = \angle MAB + \angle ABM = \alpha + \alpha = 2\alpha \).
6. Do đó, có:
\[
\angle MBC = \angle MCK \quad \text{ và } \quad \angle MCB = \angle MKB
\]
7. Vậy theo tiêu chuẩn góc-góc (AA), ta suy ra \( \triangle MBC \sim \triangle MCK \).

### b) Chứng minh \( MC^2 = MB \times MK \)

Dựa vào sự đồng dạng \( \triangle MBC \sim \triangle MCK \):

1. Từ tỉ lệ đồng dạng, ta có:
\[
\frac{MB}{MC} = \frac{MK}{MB}
\]
2. Kí hiệu \( k \) là tỉ lệ đồng dạng, ta có:
\[
\frac{MB}{MC} = k \quad \Rightarrow \quad MB = k \cdot MC
\]
\[
\frac{MK}{MB} = k \quad \Rightarrow \quad MK = k \cdot MB
\]
3. Thay \( MB = k \cdot MC \) vào đẳng thức về \( MK \):
\[
MK = k^2 \cdot MC
\]
4. Vậy:
\[
MC^2 = MB \cdot MK \Rightarrow k \cdot MC \cdot k^2 \cdot MC \Rightarrow k^2 \cdot MC = MB \cdot MK
\]
Chứng minh xong.

### c) Chứng minh góc KAM bằng góc ABM

1. Gọi \( \angle KAM = \beta \) và \( \angle ABM = \alpha \).
2. Do tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), ta có:
\[
\angle BAC = \angle ABC = \alpha
\]
3. Khi đó, tại điểm \( K \):
- Từ góc \( KAM = KAB + ABM = \beta + \alpha \) theo định nghĩa bon.
4. Do đó, ta có \( \beta = \alpha \).
5. Vậy \( \angle KAM = \angle ABM \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu trong bài toán.