Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 3 \\
\frac{2}{x+y} - \frac{3}{x-y} = 1
\end{cases}
\]

Gọi \( a = \frac{1}{x+y} \) và \( b = \frac{1}{x-y} \), chúng ta biến đổi hệ phương trình thành:

\[
\begin{cases}
a + b = 3 \\
2a - 3b = 1
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên:

1. Từ \( a + b = 3 \) suy ra \( b = 3 - a \).

Thay \( b \) vào phương trình thứ hai:

\[
2a - 3(3 - a) = 1
\]

Giải phương trình:

\[
2a - 9 + 3a = 1 \\
5a - 9 = 1 \\
5a = 10 \\
a = 2
\]

Thay giá trị của \( a \) vào \( b = 3 - a \):

\[
b = 3 - 2 = 1
\]

Bây giờ, chúng ta có:

\[
\frac{1}{x+y} = 2 \quad \Rightarrow \quad x+y = \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{1}{x-y} = 1 \quad \Rightarrow \quad x-y = 1
\]

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x+y = \frac{1}{2} \\
x-y = 1
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:

\[
(x+y) + (x-y) = \frac{1}{2} + 1 \\
2x = \frac{3}{2} \\
x = \frac{3}{4}
\]

Thay giá trị của \( x \) vào phương trình \( x+y = \frac{1}{2} \):

\[
\frac{3}{4} + y = \frac{1}{2} \\
y = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{3}{4} \\
-\frac{1}{4}
\end{pmatrix}
\]