Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số trong bài toán, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Hàm số \( y = x^2 + 2x + 1 \)

1. **Tìm đạo hàm**:
\[
y' = 2x + 2
\]

2. **Tìm điểm cực trị**:
Đặt \( y' = 0 \):
\[
2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1
\]
- Kiểm tra tính chất của điểm cực trị:
+ Nếu \( x < -1 \) thì \( y' < 0 \) (hàm giảm).
+ Nếu \( x > -1 \) thì \( y' > 0 \) (hàm tăng).

3. **Giá trị cực tiểu**:
\[
y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0
\]
- Hàm có cực tiểu tại điểm \( (-1, 0) \).

4. **Vẽ đồ thị**:
+ Hàm số là một parabol mở lên, có đỉnh tại \( (-1, 0) \).

### b) Hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4x + 1 \)

1. **Tìm đạo hàm**:
\[
y' = -3x^2 + 6x - 4
\]

2. **Tìm điểm cực trị**:
Đặt \( y' = 0 \):
\[
-3x^2 + 6x - 4 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 4 = 0
\]

Tính delta:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(4) = 36 - 48 = -12 \quad (\Delta < 0)
\]
- Không có điểm cực trị (hàm đồng biến).

3. **Giá trị tại một số điểm**:
Tính giá trị tại các điểm như \( x = 0, 1, 2 \):
- \( y(0) = 1 \)
- \( y(1) = 1 \)
- \( y(2) = -1 \)

4. **Vẽ đồ thị**:
- Hàm số là một đường cong, không có cực trị và thay đổi chiều tăng giảm liên tục.

### Kết luận
- Đồ thị của hàm số bậc hai (a) là một parabol với đỉnh tại \( (-1, 0) \).
- Đồ thị của hàm số bậc ba (b) không có cực trị và có dạng đường cong.

Bạn có thể dùng các phần mềm như Desmos hoặc GeoGebra để vẽ đồ thị cho hai hàm số này một cách trực quan hơn!