Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \frac{4x^2 + 8x + 4}{4x^2 + 1} \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Đặt lại biểu thức**: Biểu thức có thể được viết lại:

\[
A = \frac{4(x^2 + 2x + 1)}{4x^2 + 1} = \frac{4(x + 1)^2}{4x^2 + 1}
\]

2. **Tìm giá trị lớn nhất**: Để tìm giá trị lớn nhất của A, bạn có thể sử dụng đạo hàm. Lấy đạo hàm của \( A \) theo \( x \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

3. **Tính đạo hàm**:

Sử dụng quy tắc thương để lấy đạo hàm:

\[
A' = \frac{(4(2x + 8))(4x^2 + 1) - (4(x^2 + 2x + 1))(8x)}{(4x^2 + 1)^2}
\]

Giải phương trình:

\[
16(2x + 2)(4x^2 + 1) - 32x(x^2 + 2x + 1) = 0
\]

4. **Giải và tìm giá trị cực đại**: Giải phương trình trên để tìm các giá trị của \( x \), sau đó thay vào biểu thức \( A \) để tìm giá trị lớn nhất.

5. **Kiểm tra các giới hạn**: Nếu cần, kiểm tra giá trị của biểu thức A khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \).

Cuối cùng, bạn sẽ thấy rằng giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 2 \), đạt được khi \( x = 0 \).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) là **2**.