Để rút gọn biểu thức \( A = \left( \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 3} - \frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} + 3} \right) \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Rút gọn phần bên trong dấu ngoặc**:
- Gọi \( x = \sqrt{a} \), ta có:
\[
A = \left( \frac{x + 3}{x - 3} - \frac{x - 3}{x + 3} \right)
\]

- Tìm mẫu chung và thực hiện phép trừ:
\[
A = \frac{(x + 3)^2 - (x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}
\]

- Sử dụng công thức bình phương:
\[
(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = 12x
\]

- Vậy ta có:
\[
A = \frac{12\sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)} = \frac{12\sqrt{a}}{a - 9}
\]

2. **Rút gọn phần còn lại**:
- Tiếp tục với phần còn lại của biểu thức:
\[
A = \frac{12\sqrt{a}}{a - 9} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right)
\]

- Rút gọn biểu thức:
\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - 3}{3\sqrt{a}}
\]

- Kết hợp lại:
\[
A = \frac{12\sqrt{a}}{a - 9} \cdot \frac{\sqrt{a} - 3}{3\sqrt{a}} = \frac{12(\sqrt{a} - 3)}{3(a - 9)} = \frac{4(\sqrt{a} - 3)}{a - 9}
\]

Vậy biểu thức rút gọn cuối cùng là:
\[
A = \frac{4(\sqrt{a} - 3)}{a - 9} \quad \text{với } a > 0, a \neq 9.
\]