Cho hàm số y = x^2 - 2x + 5/x - 1

Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu với việc phân tích hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} \).

### Phần a:
**Chứng minh rằng tích số các khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) của hàm số đến hai đường tiệm cận của nó là hằng số.**

**Bước 1: Tìm đường tiệm cận.**

Hàm số đã cho là:
\[
y = \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}
\]

- **Tiệm cận đứng**: Để tìm tiệm cận đứng, ta tìm giá trị mà mẫu số bằng 0.
\[
x - 1 = 0 \implies x = 1
\]
Vậy có một tiệm cận đứng tại \( x = 1 \).

- **Tiệm cận ngang**: Để tìm tiệm cận ngang, ta xem xét giới hạn của \( y \) khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \):
\[
\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}} \to \infty
\]
Vậy hàm số không có tiệm cận ngang ở đây, nhưng nếu ta xét tiệm cận theo \( x \to -\infty \) cũng cho kết quả tương tự.

Sau khi phân tích, ta thấy rằng đồ thị của hàm số sẽ có một tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và không có tiệm cận ngang.

**Bước 2: Đặt điểm M.**

Giả sử \( M(a, b) \) là một điểm bất kỳ trên đồ thị (C). Khoảng cách từ \( M \) đến tiệm cận đứng \( x = 1 \) là:
\[
d_1 = |a - 1|
\]

Vì có không giới hạn ở \( y \) lên trên và dưới, nên đường tiệm cận ngang cũng không xác định một cách rõ ràng, vì vậy tích sẽ không hữu ích nếu dựa theo tiệm cận ngang.

Do vậy, kết quả sau cùng cho thể tích khoảng cách từ điểm đến hai đường tiệm cận hầu như sẽ phụ thuộc hoàn toàn dưới dạng còn lại từ tiệm cận đứng \( x = 1 \).

### Phần b:
**Tìm những điểm trên (C) sao cho từng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.**

Vì Hàm số có một tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và không có tiệm cận ngang, nên tinh toán cả các khoảng cách phía trên cũng không đem lại thông tin cụ thể để phát hiện tọa độ các điểm nào nhỏ nhất với tiệm cận đứng.

**Kết luận cuối cùng:**
Chúng ta có thể kết luận rằng đồ thị của hàm số có những khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận mà không ngừng thay đổi. Do đó sản phẩm của khoảng cách sẽ không nhất thiết là hằng số, và khó có thể tìm một điểm nào cụ thể trên C có khoảng cách nhỏ nhất đến hai tiệm cận do một trong những tiệm cận là không xác định (đường ngang).

Ghi chú: Cần phải điều chỉnh thêm nghiên cứu về đường dốc và sự ảnh hưởng của các chiều lên và chiều đi để hình dung rõ nét cần thiết từ những không gian 2 chiều.