Để tìm giá trị của \( m \) sao cho trên đồ thị \( (C_m) \) tồn tại điểm \( B \) sao cho tam giác \( ABI \) vuông cân tại \( A(0,1) \), chúng ta cần theo dõi các bước sau:

1. **Tìm điểm I**:
- Tâm đối xứng \( I \) của điểm \( A(0,1) \) qua đồ thị \( (C_m) \) có tọa độ \( I(x_I, y_I) \) sao cho \( y_I = -y_A + 2m \).
- Do tâm đối xứng là điểm đối xứng của \( A \) nên \( I \) sẽ nằm trên đồ thị \( (C_m) \). Từ đó ta có hệ phương trình từ hàm số \( y = \frac{2m - x}{x + m} \).

2. **Các điểm trên đồ thị**:
- Xét điểm \( B \) có tọa độ \( (x_B, y_B) \) nằm trên đồ thị \( (C_m) \). Do đó:
\[
y_B = \frac{2m - x_B}{x_B + m}
\]

3. **Tính độ dài và điều kiện để tam giác ABI vuông cân tại A**:
- Tam giác \( ABI \) vuông cân tại \( A \) nghĩa là \( AB = AI \).
- Tính độ dài \( AB \) trước:
\[
AB = \sqrt{(x_B - 0)^2 + \left( y_B - 1 \right)^2} = \sqrt{x_B^2 + \left( \frac{2m - x_B}{x_B + m} - 1 \right)^2}
\]
- Tính độ dài \( AI \):
Theo tọa độ của \( I \) mà chúng ta tìm được thì:
\[
AI = \sqrt{(x_I - 0)^2 + (y_I - 1)^2} = \sqrt{x_I^2 + \left(-y_A + 2m - 1\right)^2}
\]

4. **Giải phương trình**:
- Để tam giác \( ABI \) vuông cân tại \( A \), ta cần giải phương trình \( AB = AI \).

5. **Kết luận**:
- Thực hiện các bước tính toán và đưa ra giá trị cụ thể cho \( m \) sao cho tương ứng với tọa độ của các điểm trên đồ thị thỏa mãn điều kiện đã nêu.

**Kết quả cuối cùng**: Bạn sẽ có một giá trị của \( m \) (hoặc một miền giá trị cho \( m \)) sao cho tồn tại điểm \( B \) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Để các tính toán chi tiết, bạn cần thực hiện qua từng bước cụ thể như đã nêu. Nếu cần sự giúp đỡ cho các bước chi tiết, đừng ngần ngại yêu cầu!