Để giải phương trình

\[
\frac{5}{x + 2} + \frac{9}{(x + 2)(x - 1)} = -1
\]

bước đầu tiên là tìm bội số chung nhỏ nhất cho các mẫu số, đó là \((x + 2)(x - 1)\). Nhân cả hai vế với bội số chung này:

\[
5(x - 1) + 9 = -1 \cdot (x + 2)(x - 1)
\]

Mở rộng các biểu thức:

\[
5x - 5 + 9 = - (x^2 + x - 2)
\]

Đơn giản hóa bên trái:

\[
5x + 4 = -x^2 - x + 2
\]

Chuyển tất cả về một phía để có phương trình bậc 2:

\[
x^2 + 6x + 2 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{2}
\]

Giản ước \(\sqrt{28} = 2\sqrt{7}\):

\[
x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -3 \pm \sqrt{7}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là

\[
x = -3 + \sqrt{7} \quad \text{và} \quad x = -3 - \sqrt{7}
\]