Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một:

### a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) đã cho là:

\[
A = \frac{x^2}{x^2 - 4} - \frac{x}{x - 2} - \frac{2}{x + 2}
\]

Điều kiện xác định của \( A \) là các giá trị \( x \) phải sao cho mẫu của tất cả các phân thức khác 0.

1. Mẫu \( x^2 - 4 = 0 \) khi \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \).
2. Mẫu \( x - 2 = 0 \) khi \( x = 2 \).
3. Mẫu \( x + 2 = 0 \) khi \( x = -2 \).

Do đó, điều kiện xác định là:

\[
x \neq 2 \quad \text{và} \quad x \neq -2
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( A \)

Bắt đầu rút gọn từng phần của biểu thức:

1. \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)
2. Viết lại biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{x^2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x}{x - 2} - \frac{2}{x + 2}
\]

3. Tìm mẫu chung và rút gọn. Mẫu chung ở đây là \( (x - 2)(x + 2) \):

\[
A = \frac{x^2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

4. Gộp các tử lại với nhau:

\[
A = \frac{x^2 - x(x + 2) - 2(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

5. Tính toán tử số:

\[
A = \frac{x^2 - x^2 - 2x - 2x + 4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{-4x + 4}{(x - 2)(x + 2)}
\]

6. Rút gọn thêm:

\[
A = \frac{-4(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

### c) Tìm giá trị của \( x \) để \( A = 2 \)

Đặt \( A = 2 \):

\[
\frac{-4(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} = 2
\]

1. Nhân chéo:

\[
-4(x - 1) = 2(x - 2)(x + 2)
\]

2. Tính toán bên phải:

\[
-4(x - 1) = 2(x^2 - 4) \Rightarrow -4x + 4 = 2x^2 - 8
\]

3. Chuyển hết về một bên để giải phương trình:

\[
2x^2 + 4x - 12 = 0
\]

4. Chia phương trình cho 2:

\[
x^2 + 2x - 6 = 0
\]

5. Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1, b = 2, c = -6 \):

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}
\]

Vậy có hai giá trị:

\[
x_1 = -1 + \sqrt{7}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{7}
\]

Như vậy, kết quả là:

1. Điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \).
2. Biểu thức rút gọn: \( A = \frac{-4(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} \).
3. Giá trị của \( x \) để \( A = 2 \): \( x = -1 + \sqrt{7} \) và \( x = -1 - \sqrt{7} \).