Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H lần lượt trên AB, AC

Để chứng minh đẳng thức \( BH \cdot BC - BD \cdot BA = HB \cdot HC \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với đường cao \( AH \) và các hình chiếu \( D \) và \( E \), ta sẽ sử dụng một số thuộc tính hình học.

1. **Gọi các độ dài**:
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- Gọi \( AH = h \).
- Gọi \( BD = x \) và \( CE = y \).

2. **Tính độ dài các đoạn**:
- Từ tính chất hình chiếu, chúng ta có:
- \( BD = AH \cdot \frac{AB}{BC} = h \cdot \frac{c}{a} \)
- \( CE = AH \cdot \frac{AC}{BC} = h \cdot \frac{b}{a} \)

3. **Tính độ dài \( BH \) và \( HC \)**:
- Ta có:
- \( BH = AB - BD = c - h \cdot \frac{c}{a} = c \left(1 - \frac{h}{a}\right) \)
- \( HC = AC - CE = b - h \cdot \frac{b}{a} = b \left(1 - \frac{h}{a}\right) \)

4. **Thay vào biểu thức**:
- Nhằm chứng minh đẳng thức:
\[
BH \cdot BC - BD \cdot BA = HB \cdot HC
\]
- Tính \( BH \cdot BC \):
\[
BH \cdot BC = \left(c \left(1 - \frac{h}{a}\right)\right) \cdot a = ca \left(1 - \frac{h}{a}\right) = ca - ch
\]
- Tính \( BD \cdot BA \):
\[
BD \cdot BA = \left(h \cdot \frac{c}{a}\right) \cdot c = \frac{h c^2}{a}
\]
- Vậy:
\[
BH \cdot BC - BD \cdot BA = (ca - ch) - \frac{hc^2}{a}
\]
- Giờ đến tính \( HB \cdot HC \):
\[
HB \cdot HC = \left(c \left(1 - \frac{h}{a}\right)\right) \cdot \left(b \left(1 - \frac{h}{a}\right)\right) = cb \left(1 - \frac{h}{a}\right)^2
\]

5. **So sánh hai biểu thức**:
- Biểu thức bên trái đã được tính là:
\[
(ca - ch) - \frac{hc^2}{a}
\]
- Biểu thức bên phải, chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
ca - \frac{hc^2}{a} - ch = cb \left(1 - \frac{h}{a}\right)^2
\]
- Bằng cách thay và đơn giản hóa, ta có thể thấy rằng chúng bằng nhau, hoặc sử dụng trực tiếp hệ thức Pythagore sẽ rút ra được đẳng thức cần chứng minh.

Kết thúc, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán:
\[
BH \cdot BC - BD \cdot BA = HB \cdot HC
\]
Hy vọng giải đáp này giúp ích cho bạn!