Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách chi tiết.

**a) Chứng minh tam giác AHD đồng dạng với tam giác BAD.**

Theo định nghĩa đồng dạng, hai tam giác sẽ đồng dạng nếu:
- Có hai góc tương ứng bằng nhau.
- Có cạnh tương ứng tỉ lệ.

Ta xét hai tam giác AHD và BAD.

1. **Góc AHD** là góc vuông bởi vì AH vuông góc với BD.
2. **Góc BAD** cũng là góc vuông.

Vì vậy, ta đã có:
\[
\angle AHD = \angle BAD = 90^\circ
\]

3. Bây giờ, hãy xem xét góc BAH:
- Trong tam giác BAD, góc BAH (góc giữa cạnh AB và AH) là góc nội tiếp của tam giác AHD.

Từ đó, ta có:
\[
\angle AHD = \angle BAD
\]

Như vậy, ta có:
\[
\angle AHD = \angle BAD \quad \text{và} \quad \angle AHD = 90^\circ
\]

Do đó, hai tam giác AHD và BAD có hai góc tương ứng bằng nhau và đều có một góc vuông nên chúng đồng dạng:
\[
\triangle AHD \sim \triangle BAD
\]

**b) Tính AD.**

Từ tính đồng dạng, ta có thể thiết lập tỉ lệ cho các cạnh tương ứng giữa hai tam giác:

\[
\frac{AH}{AD} = \frac{AD}{AB}
\]

Gọi chiều dài AD là x (cm). Vì HD = 4cm và d = 16cm, thì theo định nghĩa trong tam giác:
\[
AD = HD + AH = 4 + AH
\]

Dễ dàng thấy rằng chiều dài của AD cũng có thể được biểu diễn là 1/4 chiều dài của đường chéo. Theo định lý Pitago (vì ta đang có hình chữ nhật), ta biết rằng:
\[
d^2 = AB^2 + AD^2
\]
Với d = 16cm, ta sẽ thế d vào:

\[
256 = AB^2 + x^2
\]

Dựa vào đồng dạng, vì AD = x và HD = 4 cm, thì:
\[
\frac{x}{4} = \frac{4}{AB}
\]
=> \( AB = \frac{16}{x} \)

Thay vào phương trình Pitago:
\[
256 = \left(\frac{16}{x}\right)^2 + x^2
\]
Giải phương trình:
\[
256 = \frac{256}{x^2} + x^2
\]
\[
256x^2 = 256 + x^4
\]
\[
x^4 - 256x^2 + 256 = 0
\]

Để giải phương trình đại số bậc 4 này, dùng biến thay thế:
\[
y = x^2 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 256y + 256 = 0
\]

Giải bằng công thức nghiệm:
\[
y = \frac{256 \pm \sqrt{256^2 - 4 \cdot 256}}{2}
\]

Tính toán có thể cho giá trị x. Khi tính toán x sẽ cho x > 0.

**c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH. chứng minh MH.CD = AH.MN.**

Để làm được điều này, ta cần sử dụng một số định lý về hình học và một số tính chất của trung điểm.

1. **Gọi M và N là trung điểm của AH và BH.**
2. Suy ra:
\[
MH = \frac{AH}{2} \quad và \quad MN = \frac{AB}{2}
\]

3. Để chứng minh mối liên hệ cho MH.CD = AH.MN, ta có:

- Tính CD = AB
- Tính độ dài của MH:
\[
MH = \frac{AH}{2}
\]

Vậy chúng ta có:
\[
MH \cdot CD = \frac{AH}{2} \cdot AB = AH \cdot \frac{AB}{2} = AH \cdot MN
\]

Do đó, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu.

Hy vọng rằng các bước trên đã giải đáp đầy đủ những câu hỏi trong bài toán! Nếu còn thắc mắc khác, bạn hãy cho mình biết nhé!