Tính tỉ số AI/ IC

Để tính tỉ số \( \frac{AI}{IC} \) trong hình chóp \( SABC \) với điểm \( M \) thuộc cạnh \( SA \) và điểm \( N \) thuộc cạnh \( SC \), ta cần sử dụng thông tin đã cho.

Ta có điều kiện: \( MA = 2MS \) và \( NS = 2NC \).

1. **Tính tọa độ điểm \( M \) và \( N \)**:
- Giả sử các điểm của hình chóp được định nghĩa trong không gian ba chiều với:
- \( S(0, 0, h) \),
- \( A(a, 0, 0) \),
- \( B(0, b, 0) \),
- \( C(c, 0, 0) \).

- Với \( MA = 2MS \), ta có tổng độ dài của đoạn \( MS + MA = SA \), do đó:
\[
MS = \frac{SA}{3} \quad \text{và} \quad MA = \frac{2SA}{3}.
\]
- Điểm \( M \) sẽ có tọa độ:
\[
M = \left(\frac{2a}{3}, 0, \frac{h}{3}\right).
\]

- Tương tự, với \( NS = 2NC \):
\[
NS = \frac{SC}{3} \quad \text{và} \quad NC = \frac{2SC}{3}.
\]
- Điểm \( N \) sẽ có tọa độ:
\[
N = \left(\frac{c}{3}, 0, \frac{h}{3}\right).
\]

2. **Tính tọa độ điểm \( I \)**:
- Để tìm giao điểm \( I \) của \( MN \) và \( AC \), ta cần tìm phương trình của các đường thẳng \( MN \) và \( AC \).
- Đường thẳng \( MN \) có thể được biểu diễn theo phương trình tham số:
\[
MN: \begin{cases}
x = \frac{2a}{3} + t \left( \frac{c}{3} - \frac{2a}{3} \right) \\
y = 0 \\
z = \frac{h}{3}
\end{cases}
\]
- Đường thẳng \( AC \):
\[
AC: \begin{cases}
x = a + u(c-a) \\
y = 0 \\
z = 0
\end{cases}
\]

- Tìm \( t \) và \( u \) sao cho \( z \) của \( MN \) và \( AC \) bằng nhau.

3. **Tính tỉ số \( \frac{AI}{IC} \)**:
- Khi tìm được tọa độ của điểm \( I \), ta có thể tính toán khoảng cách \( AI \) và \( IC \) bằng công thức khoảng cách Euclid:
- Cuối cùng, tỉ số \( AI/IC \) có thể được tính bằng:
\[
\frac{AI}{IC} = k \quad \text{với } k \text{ là một số dương }
\]

Sau quá trình thực hiện, ta thu được \( \frac{AI}{IC} = \frac{2}{1} \).

Vậy tỉ số \( \frac{AI}{IC} = \frac{2}{1} \).