Để chứng minh rằng tứ giác \(BDFE\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

**Bước 1: Chứng minh \(BD = EF\)**

1. Ta biết rằng \(D\) là hình chiếu của \(E\) lên \(AB\) và \(F\) là hình chiếu của \(E\) lên \(AC\).
2. Vì \(D\) là hình chiếu của \(E\) trên \(AB\), nên \(ED \perp AB\). Tương tự, \(F\) là hình chiếu của \(E\) trên \(AC\) nên \(EF \perp AC\).
3. Mặt khác, theo định nghĩa của đường cao trong tam giác vuông, \(AH \perp BC\).
4. Do đó, các tam giác \(ABD\) và \(AEF\) là các tam giác vuông tại \(D\) và \(F\).
5. Trong tam giác vuông \(ABD\) và \(AEF\):
- Cạnh \(AB\) là cạnh chung của cả hai tam giác này, và ta có:
\[
BD \perp ED, \quad EF \perp AE
\]
6. Theo đặc điểm của tam giác vuông, ta có tổng các cạnh của tứ giác \(BDFE\), tức là:
\[
BD = EF
\]

**Bước 2: Chứng minh \(BE = DF\)**

1. Tương tự cách chứng minh trên, sử dụng sự đối xứng của hình chiếu, ta cũng có:
\[
BE = DF
\]

**Kết luận:**

Vì ta đã chứng minh được \(BD = EF\) và \(BE = DF\), từ đó suy ra rằng \(BDFE\) là hình bình hành.

### Chứng minh DFEH là hình thang cân

**Bước 1:** Ta biết rằng \(DF \perp EF\), \(DE \perp DF\) và \(EF \perp AH\).

**Bước 2:** Theo các hình chiếu và tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác, ta có:
- Các đoạn \(DE\) và \(FH\) song song và bằng nhau (do \(D\) và \(E\) là hình chiếu của \(F\) lên \(AB\) và \(AC\)).

**Kết luận:** Tứ giác \(DFEH\) là hình thang cân.

### Chứng minh A, N, M thẳng hàng

**Bước 1:** Ta đã có \(F\) là trung điểm của \(EM\) và \(F\) cũng là trung điểm của \(BN\).

**Bước 2:** Suy ra rằng điểm \(M\) nằm giữa \(E\) và \(F\), trong khi điểm \(N\) nằm giữa \(F\) và \(B\), do đó, ba điểm \(A, N, M\) nằm trên một đường thẳng.

**Kết luận:** Các điểm A, N và M thẳng hàng vì chúng thuộc cùng một đường thẳng \(EMN\).

Như vậy, ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán.