Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét hình dạng của tứ giác ABCD và các trung điểm của các cạnh.

**a) Chứng minh EFHG là hình bình hành.**

1. **Xét các trung điểm:**
- E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

2. **Sử dụng tính chất của hình tứ giác:**
- Do hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, ta có thể chứng minh rằng EF || GH và EH || FG.

3. **Chứng minh cạnh đối song song:**
- Xét đoạn EF và GH:
- Vì E và G là trung điểm của AB và CD, nên EF // GH (cạnh đối của hình chữ nhật) và EF = GH.
- Tương tự xét đoạn EH và FG:
- F và H là trung điểm của BC và DA, do đó EH // FG và EH = FG.

4. **Kết luận:**
- Tứ giác EFHG có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó EFHG là hình bình hành.

**b) Tứ giác EFHG là hình gì?**

Từ việc EFHG là hình bình hành và trong trường hợp này, hai đường chéo AC và BD vuông góc, ta có:

1. **Kiểm tra tính chất:**
- Vì EFHG có hai cạnh đối song song và lại có tất cả bốn góc vuông, tức là có khả năng trở thành hình vuông.

2. **Kết luận:**
- Tứ giác EFHG không chỉ là hình bình hành mà còn là hình chữ nhật. Nếu tất cả các cạnh bằng nhau thì nó sẽ là hình vuông. Tuy nhiên, với dữ liệu hiện tại, ta có thể khẳng định rằng EFHG là hình chữ nhật (do có các góc vuông và các cặp cạnh đối song song).

Vậy:
- EFHG là hình bình hành.
- EFHG là hình chữ nhật.