Trong tam giác vuông tại A (tam giác ABC) với đường phân giác BD, chúng ta biết rằng AD và DC là đoạn phân chia cạnh BC.

Ta có:
- AD = 4 cm
- DC = 5 cm

Vì BD là đường phân giác, theo định lý phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ sau giữa các cạnh:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{DC}
\]

Thay thế giá trị của AD và DC, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{4}{5}
\]

Gọi \( AB = 4k \) và \( AC = 5k \) cho một số thực \( k \).

Bây giờ tính cạnh BC:

\[
BC = AB + AC = 4k + 5k = 9k
\]

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Thay các giá trị vào:

\[
(4k)^2 + (5k)^2 = (9k)^2
\]

Chúng ta có:

\[
16k^2 + 25k^2 = 81k^2
\]
\[
41k^2 = 81k^2
\]

Điều này đúng vì mọi giá trị của \( k \) đều có thể rút gọn, không gây ra mâu thuẫn.

Để tìm k, ta cần kiểm tra tổng độ dài BC, mà chúng ta biết rằng \( AD + DC = 4 + 5 = 9 \) cm tương đương với \( BC = 9k \).

Vì vậy, ta có thể tìm k:

\[
9k = 9 \rightarrow k = 1
\]

Vậy:

\[
AB = 4k = 4 \cdot 1 = 4 \text{ cm}
\]
\[
AC = 5k = 5 \cdot 1 = 5 \text{ cm}
\]
\[
BC = 9k = 9 \cdot 1 = 9 \text{ cm}
\]

Do đó, độ dài các cạnh là:
- \( AB = 4 \) cm
- \( AC = 5 \) cm
- \( BC = 9 \) cm

**Kết quả:**
- \( AB = 4 \) cm
- \( AC = 5 \) cm
- \( BC = 9 \) cm