Ta có các phương trình sau từ bài toán:

1. \( a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{2008} = 0 \)
2. \( a_0 + a_1 = a_2 + a_3 = \ldots = a_{2006} + a_{2007} = a_{2008} + a_0 = -2 \)

Ký hiệu:
- \( S = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2008} \)
- Với mỗi cặp, ta có: \( a_i + a_{i+1} = -2 \)

Chia thành các cặp theo cách sau:

- Gọi \( a_0 + a_1 = -2 \)
- Gọi \( a_2 + a_3 = -2 \)
- Gọi \( a_4 + a_5 = -2 \)
- ...
- Gọi \( a_{2006} + a_{2007} = -2 \)

Do tổng số phần tử \( a_0, a_1, \ldots, a_{2008} \) là 2009, ta có thể chia thành 1004 cặp như sau:

\[
\text{Tổng} = (a_0 + a_1) + (a_2 + a_3) + \ldots + (a_{2006} + a_{2007}) + a_{2008}
\]

Có 1004 cặp và thêm một phần tử lẻ \( a_{2008} \):

\[
-2 \times 1004 + a_{2008} = 0
\]

Từ đó:

\[
a_{2008} = 2 \times 1004 = 2008
\]

Bây giờ, từ \( a_0 + a_1 = -2 \) và \( a_{2008} + a_0 = -2 \), ta có:

\[
2008 + a_0 = -2
\]

Từ đó, giải phương trình:

\[
a_0 = -2 - 2008 = -2010
\]

Vậy, giá trị của \( a_0 \) là:

\[
\boxed{-2010}
\]