Cho tam giác nhọn abc có đường cao bd vầ ce cắt nhau tại h

Để chứng minh các mệnh đề trong tam giác nhọn ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tại H, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn

Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE. Ta có:

- D là điểm trên cạnh AC, và B là điểm trên cạnh AB.
- E là điểm trên cạnh AB, và C là điểm trên cạnh AC.

Ta sẽ chứng minh rằng góc BHD và góc BCD có cùng độ lớn.

- Vì BH là đường cao nên góc BHD = 90 độ.
- Tương tự, CE là đường cao nên góc CED = 90 độ.

Từ đó, ta có:

\[
\angle BHD + \angle BCD = 90 + 90 = 180 \text{ độ}
\]

Vậy, bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn (tính chất của bốn điểm trên một đường tròn là tổng hai góc đối diện bằng 180 độ).

### b) Chứng minh BC > DE

Ta có đoạn thẳng BC là cạnh của tam giác ABC và DE là đoạn vẽ từ điểm D trên AC đến điểm E trên AB.

Theo định lý về đường cao của tam giác, với mỗi đường cao kẻ từ đỉnh của một tam giác đến cạnh đối diện, chiều cao sẽ luôn nhỏ hơn độ dài của cạnh.

Do đó, ta có:

\[
BC > BE \quad \text{và} \quad BC > CD
\]

Kết luận suy ra:

\[
BC > DE
\]

### c) Chứng minh DE < AH

Tương tự như trên, AH là chiều cao từ A xuống cạnh BC, và DE là đoạn thẳng nối từ D đến E.

Do DE là đoạn thẳng nối giữa hai điểm trên hai cạnh khác nhau, trong khi AH là cao cảu tam giác, ta có thể áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác ABD và ACE để chứng minh:

\[
DE < AH
\]

Vì đường cao từ một đỉnh đến cạnh đối diện trong một tam giác nhọn luôn lớn hơn bất kỳ đoạn thẳng nào không phải là đường cao cắt ra giữa hai cạnh trong tam giác.

Kết luận là ta đã chứng minh xong ba mệnh đề.