Để giải bài toán trong tam giác vuông ABC tại A với BA vuông góc với BC, ta sẽ sử dụng các kiến thức về định lý Pythagore và một số tính chất của tam giác vuông.

1. Đặt \( D \) là điểm trên cạnh \( BC \) sao cho \( AD \) vuông góc với \( HA \).
2. Xét các đoạn thẳng:
- \( AD \) vuông góc với \( HA \), suy ra tam giác \( AHD \) vuông tại \( A \).
- Sử dụng định lý Pythagore, ta có:
\[
AD^2 + AH^2 = AB^2
\]

3. Để chứng minh \( AB + AC = AH + AD \):
- Tính toán độ dài các cạnh theo định nghĩa trong tam giác vuông.
- Sử dụng các tính chất về cạnh huyền và cạnh góc vuông.

4. Cuối cùng, để có được mối quan hệ \( A_1 = A_2 \) (các vùng hay diện tích), có thể áp dụng công thức tính diện tích cho tam giác và các thuộc tính tương ứng.

Tóm lại, để hoàn thành bài toán, bạn cần thiết lập các công thức và chứng minh dựa trên các yếu tố hình học và đại số liên quan đến tam giác vuông.