Để tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình:

\[ 2x^2 + 2xy + 3y = 4y^2 + 3 \]

Ta sẽ biến đổi phương trình này như sau:

1. Đưa tất cả các hạng tử về một bên:

\[ 2x^2 + 2xy + 3y - 4y^2 - 3 = 0 \]

2. Sắp xếp lại thành dạng phương trình đầy đủ:

\[ 2x^2 + 2xy - 4y^2 + 3y - 3 = 0 \]

3. Phương trình này là phương trình bậc hai đối với biến \(x\). Để xác định các giá trị của \(x\) dựa vào \(y\), ta có:

\[ 2x^2 + (2y)x + (3y-4y^2-3) = 0 \]

4. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

Nghiệm của phương trình bậc hai được cho bởi:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong trường hợp này, \(a = 2\), \(b = 2y\) và \(c = 3y - 4y^2 - 3\).

5. Tính toán:

\[ b^2 - 4ac = (2y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3y - 4y^2 - 3) \]

\[ = 4y^2 - 8(3y - 4y^2 - 3) \]

\[ = 4y^2 - 24y + 32y^2 + 24 = 36y^2 - 24y + 24 \]

6. Để \(x\) là số nguyên, thì \(b^2 - 4ac\) phải là một số chính phương. Ta cần kiểm tra giá trị của biểu thức \(36y^2 - 24y + 24\) cho các giá trị nguyên của \(y\).

7. Sau đó, với từng giá trị của \(y\), ta tính và tìm ra các giá trị tương ứng của \(x\).

Quá trình này sẽ cho ta các cặp \((x, y)\) thỏa mãn phương trình. Bạn có thể lựa chọn một số giá trị của \(y\) để tính và kiểm tra. Nếu cần hướng dẫn thêm về một giá trị cụ thể nào đó, hãy cho tôi biết!