Để chứng minh những điều đó, ta sẽ lần lượt xem xét từng phần một.

### Phần a: Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

Giả sử tam giác ABC vuông tại A với các điểm M và D như đã cho. Theo đề bài, M là trung điểm của đoạn BC. Do đó, ta có:

\[
AB \perp AC \quad (\text{vì } ABC \text{ vuông tại } A)
\]

Do M là trung điểm của BC, ta có:

\[
MB = MC
\]

Tiếp theo, ta xem xét việc đặt điểm D sao cho MD = MA. Do đó, từ định nghĩa, ta có:

\[
MD = MA
\]

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật bằng cách chứng minh rằng các cạnh AB, BC, AD và CD đều vuông góc với nhau.

- **Tính vuông góc**: Ta đã biết rằng AB và AC vuông góc nhau.
- **Đoạn MD**: Vì MD = MA và D nằm trên tia đối của tia MA, nên tam giác AMD cũng vuông tại M (do MA vuông góc với AC).

Từ đây, ta có:
\[
AD \perp AB \quad \text{và} \quad CD \perp AB
\]
Nên AD và CD đều vuông với AB, tức là tứ giác ABCD là tứ giác có các góc vuông, vậy ABCD chính là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh BEDC là hình bình hành

Lấy E sao cho B là trung điểm của AE, như vậy có:

\[
AB = BE
\]

Bây giờ, để chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối tượng bằng nhau.

Trong tứ giác BEDC:

1. **Chứng minh BD = CE**:
- Vì B là trung điểm của AE, mà ta đã có rằng AB = BE, nên:
\[
BD + DC = AB + BE
\]
Suy ra,
\[
BD = CE
\]

2. **Chứng minh DE = BC**:
- Vì AB // CD và E là một điểm trên đường thẳng kéo dài từ A, vậy DE // BC.

Do đó, ta có:
\[
BD \parallel CE \quad \text{và} \quad DE \parallel BC
\]
Nên tứ giác BEDC vuông góc với nhau, ta chứng minh được rằng BEDC là hình bình hành.

Từ đó, xong cũng đã hoàn tất chứng minh.