Để tìm số m³ nước mà gia đình bác Phan đã sử dụng, đầu tiên chúng ta cần tính toán tách biệt các khoản thuế và phí từ tổng số tiền mà gia đình bác Phan phải trả.

1. **Tính toán số tiền trước thuế và phí:**
- Tổng số tiền phải trả là: 230.690 đồng.
- Thuế VAT là 5%, và phí bảo vệ môi trường (BVMT) là 10%. Tổng tỷ lệ thuế và phí là 5% + 10% = 15%.
- Giả sử số tiền trước thuế và phí là X. Ta có:
\[
X + 0.15X = 230.690 \quad \Rightarrow \quad 1.15X = 230.690
\]
- Từ đó suy ra:
\[
X = \frac{230.690}{1.15} \approx 200.600
\]

2. **Xác định mức tiêu thụ nước:**
- Mức giá nước:
- Đến 4 m³: 5.300 đồng/m³
- Từ 4 m³ đến 6 m³: 10.200 đồng/m³
- Trên 6 m³: 11.400 đồng/m³

- Giả sử số m³ nước gia đình bác Phan sử dụng là N m³. Ta có một số trường hợp:
- **Trường hợp 1:** Nếu N ≤ 4 m³:
\[
Giá tiền = N \times 5.300
\]
- **Trường hợp 2:** Nếu 4 < N ≤ 6 m³:
\[
Giá tiền = 4 \times 5.300 + (N - 4) \times 10.200
\]
- **Trường hợp 3:** Nếu N > 6 m³:
\[
Giá tiền = 4 \times 5.300 + 2 \times 10.200 + (N - 6) \times 11.400
\]

3. **Tính từng trường hợp:**

- **Trường hợp 1:**
\[
N \times 5.300 = 200.600 \quad \Rightarrow \quad N = \frac{200.600}{5.300} \approx 37.8 \text{ (không hợp lý)}
\]

- **Trường hợp 2:**
\[
4 \times 5.300 + (N - 4) \times 10.200 = 200.600
\]
\[
21.200 + (N - 4) \times 10.200 = 200.600
\]
\[
(N - 4) \times 10.200 = 179.400 \quad \Rightarrow \quad N - 4 = \frac{179.400}{10.200} \approx 17.6 \quad \Rightarrow \quad N \approx 21.6 \text{ (không hợp lý)}
\]

- **Trường hợp 3:**
\[
4 \times 5.300 + 2 \times 10.200 + (N - 6) \times 11.400 = 200.600
\]
\[
21.200 + 20.400 + (N - 6) \times 11.400 = 200.600
\]
\[
41.600 + (N - 6) \times 11.400 = 200.600
\]
\[
(N - 6) \times 11.400 = 159.000 \quad \Rightarrow \quad N - 6 = \frac{159.000}{11.400} = 13.947368 \quad \Rightarrow \quad N \approx 19.947368 \approx 20
\]

Kết quả cuối cùng là:
- Gia đình bác Phan đã sử dụng khoảng 20 m³ nước trong tháng 10/2017.