Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng phần một cách cụ thể như sau:

### a) Chứng minh BAH = MAC.

Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:

- AH là đường cao từ A xuống cạnh BC.
- AM là trung tuyến ứng với cạnh BC.

Ta có:

- M là trung điểm của BC, do đó \( BM = MC \).
- Theo định nghĩa, góc BAH và góc MAC là các góc tạo thành bởi đường cao và trung tuyến trong tam giác vuông.

Áp dụng định lý góc:

- \( \triangle ABH \sim \triangle AMC \) (theo góc-góc).
- Do đó, ta có \( \angle BAH = \angle MAC \).

Hay nói cách khác, từ tính chất của tam giác vuông và định nghĩa của đường cao và trung tuyến, ta có thể kết luận rằng \( \angle BAH = \angle MAC \).

### b) Chứng minh AD là phân giác của góc MAH và góc CAB.

Ta đã biết rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \), và ta lấy điểm \( D \) trên đoạn thẳng \( BC \) sao cho \( MD = MA \).

Sử dụng định nghĩa của phân giác:

- Trong tam giác MAH, ta xét \( AD \) với \( D \) nằm trên \( BC \).
- Theo định lý phân giác, nếu \( AD \) là phân giác thì \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).

Do đó, ta sẽ kiểm tra tỷ lệ này bằng cách chỉ ra rằng \( AB \) và \( AC \) có tỷ lệ tương ứng với \( BD \) và \( DC \).

### c) Từ D kẻ DE vuông góc với AB (E thuộc AB); kẻ DF vuông góc với AC (F thuộc AC).

Với \( DE \perp AB \) và \( DF \perp AC \), ta có thể sử dụng định lý Pythagoras hoặc các tính chất về góc vuông để kiểm tra các hình thành.

- Hình tứ giác AEDF sẽ có các góc vuông tại \( E \) và \( F \), và như vậy AEDF là hình chữ nhật nếu \( AE \parallel DF \) và \( DE \parallel AF \).

Cuối cùng, hình dạng của AEDF sẽ là hình chữ nhật nếu điều kiện song song thỏa mãn. Nếu không thỏa mãn, nó có thể là hình khác nhưng vẫn có các góc phụ thuộc vào vị trí của các điểm.

Kết luận: AEDF là một hình tứ giác có phần phụ thuộc vào vị trí của các điểm, và để xác định chính xác, chúng ta cần kiểm tra thêm về vị trí và kích thước của các đoạn thẳng.