Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn

Để tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình trên, ta sẽ giải phương trình:

\[ 2xy - 2y^3 - 4y^2 - 5y + 8x + 21 = 0 \]

Trước hết, ta có thể sắp xếp lại phương trình theo biến x như sau:

\[ 2xy + 8x = 2y^3 + 4y^2 + 5y - 21 \]

Sau đó, ta có thể factor x ra:

\[ x(2y + 8) = 2y^3 + 4y^2 + 5y - 21 \]

Từ đây, ta giải phương trình theo x:

\[ x = \frac{2y^3 + 4y^2 + 5y - 21}{2y + 8} \]

Để x là số nguyên, tử số \( 2y^3 + 4y^2 + 5y - 21 \) cần phải chia hết cho mẫu số \( 2y + 8 \).

### Bước 1: Tìm điều kiện cho x là số nguyên

Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên của y và tìm ra x tương ứng.

### Bước 2: Thử giá trị cho y

- Khi \( y = -5 \):

\[
x = \frac{2(-5)^3 + 4(-5)^2 + 5(-5) - 21}{2(-5) + 8} = \frac{2(-125) + 4(25) - 25 - 21}{-10 + 8} = \frac{-250 + 100 - 25 - 21}{-2} = \frac{-196}{-2} = 98
\]

Cặp nghiệm: (98, -5)

- Khi \( y = -4 \):

\[
x = \frac{2(-4)^3 + 4(-4)^2 + 5(-4) - 21}{2(-4) + 8} = \frac{-128 + 64 - 20 - 21}{0}
\]

Lỗi, không xác định.

- Khi \( y = -3 \):

\[
x = \frac{2(-3)^3 + 4(-3)^2 + 5(-3) - 21}{2(-3) + 8} = \frac{-54 + 36 - 15 - 21}{2} = \frac{-54}{2} = -27
\]

Cặp nghiệm: (-27, -3)

- Khi \( y = -2 \):

\[
x = \frac{2(-2)^3 + 4(-2)^2 + 5(-2) - 21}{2(-2) + 8} = \frac{-16 + 16 - 10 - 21}{4} = \frac{-31}{4}
\]

Không phải số nguyên.

- Khi \( y = -1 \):

\[
x = \frac{2(-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) - 21}{2(-1) + 8} = \frac{-2 + 4 - 5 - 21}{6} = \frac{-24}{6} = -4
\]

Cặp nghiệm: (-4, -1)

- Khi \( y = 0 \):

\[
x = \frac{2(0)^3 + 4(0)^2 + 5(0) - 21}{2(0) + 8} = \frac{-21}{8}
\]

Không phải số nguyên.

- Khi \( y = 1 \):

\[
x = \frac{2(1)^3 + 4(1)^2 + 5(1) - 21}{2(1) + 8} = \frac{2 + 4 + 5 - 21}{10} = \frac{-10}{10} = -1
\]

Cặp nghiệm: (-1, 1)

- Khi \( y = 2 \):

\[
x = \frac{2(2)^3 + 4(2)^2 + 5(2) - 21}{2(2) + 8} = \frac{16 + 16 + 10 - 21}{12} = \frac{21}{12}
\]

Không phải số nguyên.

- Khi \( y = 3 \):

\[
x = \frac{2(3)^3 + 4(3)^2 + 5(3) - 21}{2(3) + 8} = \frac{54 + 36 + 15 - 21}{14} = \frac{84}{14} = 6
\]

Cặp nghiệm: (6, 3)

- Khi \( y = 4 \):

\[
x = \frac{2(4)^3 + 4(4)^2 + 5(4) - 21}{2(4) + 8} = \frac{128 + 64 + 20 - 21}{16} = \frac{191}{16}
\]

Không phải số nguyên.

- Khi \( y = 5 \):

\[
x = \frac{2(5)^3 + 4(5)^2 + 5(5) - 21}{2(5) + 8} = \frac{250 + 100 + 25 - 21}{18} = \frac{354}{18}
\]

Không phải số nguyên.

### Kết luận
Các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình là:

1. (98, -5)
2. (-27, -3)
3. (-4, -1)
4. (-1, 1)
5. (6, 3)

Nếu cần thêm thông tin hoặc giải thích chi tiết hơn, vui lòng cho tôi biết!