Để xác định tọa độ điểm G, chúng ta cần giải hệ phương trình của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).

1. **Viết phương trình các đường thẳng:**

- Đường thẳng \(d_1\): \(y = (m - 1)x - m^2 - 2m\)
- Đường thẳng \(d_2\): \(y = (m - 2)x - m^2 - m + 1\)

2. **Thiết lập hệ phương trình:**

Đặt \(y_1 = y_2\), ta có:

\[
(m - 1)x - m^2 - 2m = (m - 2)x - m^2 - m + 1
\]

Rút gọn phương trình:

\[
(m - 1)x - (m - 2)x = -m^2 - m + 1 + m^2 + 2m
\]

\[
(m - 1 - m + 2)x = m + 1
\]

\[
x = \frac{m + 1}{1} = m + 1
\]

3. **Tìm y bằng cách thay x vào một trong các phương trình:**

Thay vào phương trình \(d_1\):

\[
y = (m - 1)(m + 1) - m^2 - 2m
\]

\[
= (m^2 - 1) - m^2 - 2m = -1 - 2m
\]

4. **Tọa độ điểm G:**

Vậy tọa độ điểm G là:

\[
G(m + 1, -1 - 2m)
\]

5. **Chứng minh điểm G thuộc đường thẳng cố định:**

Để chứng minh G luôn thuộc đường thẳng cố định \(y = -2x + 1\), ta thay tọa độ của G vào phương trình này:

\[
-1 - 2m = -2(m + 1) + 1
\]

Tính bên phải:

\[
-2(m + 1) + 1 = -2m - 2 + 1 = -2m - 1
\]

Vậy ta có:

\[
-1 - 2m = -2m - 1
\]

Điều này là đúng cho mọi giá trị của m, chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc đường thẳng \(y = -2x + 1\).

Như vậy, điểm G sẽ luôn thuộc đường thẳng \(y = -2x + 1\) khi m thay đổi.