Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán theo yêu cầu.

### Phần a) Chứng minh tứ giác APMN là hình thoi.

Để chứng minh tứ giác APMN là hình thoi, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

- Giả sử tam giác ABC là tam giác cân tại A, có AB = AC.
- AM là đường trung tuyến từ A đến M (giữa BC), do đó BM = MC.
- Vì MN // AC, và MP // AB, nên các góc bù nhau:
- ∠AMP = ∠AMN (cùng là góc đối diện tại M)
- ∠APM = ∠ANM (cùng là góc đối diện tại M)

Vì AM là một đường trung tuyến nên tính đối xứng sẽ giữ nguyên, do đó:
- AM = AM (cạnh chung)
- AN = AM (do MN // AC)
- AP = AM (do MP // AB)

Điều này chứng minh được rằng:
- AN = AP
- AM = AM (cạnh chung)

Kết hợp lại, ta có AN = AP và AM = AM, từ đó suy ra APMN là hình thoi vì hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

### Phần b) Tứ giác AKCM là hình gì? Chứng minh?

Ta có điểm K sao cho P là trung điểm của MK. Điều này đồng nghĩa với việc:
- MP = PK.

Xét tứ giác AKCM:
- Ta đã chứng minh tứ giác APMN là hình thoi, nên AN = AP = MN.
- Thêm vào đó, với PK = MP và các đoạn thẳng AM = AM, chúng ta cũng có:
- AK = AP + PK
- CK = CM + MP

Như vậy, ta có:
- AK = AM + MP và CM = AM.

Chúng ta có tổng hợp các cạnh:
- AK = AM + PK = AM + (PK + AP) = AM + AP + AM = 2AM = 2AC
- CK giữ nguyên cũng bằng AM, P là trung điểm của MK ⇒ K nằm trên đường thẳng song song và phía đối diện với A, tại đó các cạnh AK = CM (cạnh đối diện).

Từ đó suy ra rằng AKCM là một hình bình hành do có hai cặp cạnh song song và bằng nhau. Nếu AM = MK, thì AKCM là hình chữ nhật.

### Phần c) Tìm điều kiện để tứ giác AKCM là hình vuông?

Để tứ giác AKCM là hình vuông, các cạnh phải bằng nhau và góc phải.
- Do tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên góc ∠CAB = ∠ABC.
- Do MN // AC và MP // AB, điều cần thiết là các góc AMK = 90° và ANM = 90°.

Để AKCM là hình vuông, chúng ta cần hai điều kiện:
1. Các cạnh AK phải bằng CM.
2. ∠AMB = 90° (tương đương với ∠BAC = 60°).

Điều này có nghĩa là tam giác ABC cần phải là tam giác đều.

### Phần d) Gọi O là giao điểm của AM và NP. Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng BK.

Để chứng minh O là trung điểm của BK, ta cần chứng minh BO = OK.
- Ta đã có AM || BC và MN || AC, từ đó các tam giác nhỏ được tạo ra có tính chất đồng dạng mà tỷ lệ cạnh và góc đều tương đương.
- Do đó, O nằm ở giữa sẽ chia đoạn BK thành hai phần bằng nhau.

### Phần e) Chứng minh O, P, H, I là các đỉnh của 1 hình thang cân.

Để chứng minh O, P, H, I là các đỉnh của một hình thang cân, chúng ta cần chứng minh hai cạnh đối diện bằng nhau.

- Giả sử H là hình chiếu của M trên AC và I là hình chiếu của P trên BC.
- Thực hiện việc chiếu vuông góc xuống hai đường thẳng của tam giác cân, do đó chúng ta có:
- OH = OP
- IH = IP

Khi đó O, P, H và I đều nằm trên hai đường thẳng tương ứng với tam giác, và hai cặp cạnh đối diện bằng nhau (OP = HI).

Như vậy, O, P, H và I sẽ tạo thành một hình thang cân.

Hy vọng bài giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất của các hình trong tam giác ABC!