Để giải bài toán này, ta sẽ xác định tọa độ điểm giao nhau \( G \) của hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) trong điều kiện cho trước.

### a) Xác định tọa độ điểm \( G \)

Cho hai đường thẳng:

1. \( d_1: y = (m - 1)x - m^2 - 2m \)
2. \( d_2: y = (m - 2)x - m^2 - m + 1 \)

Để tìm tọa độ điểm giao nhau \( G \), ta đặt \( y \) từ \( d_1 \) bằng \( d_2 \):

\[
(m - 1)x - m^2 - 2m = (m - 2)x - m^2 - m + 1
\]

Giải phương trình trên để tìm \( x \):

\[
(m - 1)x - (m - 2)x = -m^2 - m + 1 + 2m
\]
\[
(1 - m)x = -m^2 + m + 1
\]

Từ đó ta có tọa độ \( x \):

\[
x = \frac{-m^2 + m + 1}{1 - m}
\]

Thay giá trị của \( x \) vào một trong hai đường thẳng để tìm \( y \). Dùng \( d_1 \):

\[
y = (m - 1)\frac{-m^2 + m + 1}{1 - m} - m^2 - 2m
\]

### b) Chứng tỏ rằng điểm \( G \) luôn thuộc một đường thẳng cố định

Nghiên cứu biểu thức của tọa độ \( G \):

1. Tìm tọa độ \( y \) từ biểu thức trên.
2. Rút gọn để tìm được dạng của phương trình đường thẳng trong trường hợp \( m \) thay đổi.

Kết quả cần tìm sẽ có dạng phương trình đường thẳng \( y = -2x + 1 \):

Ta thấy rằng khi \( m \) thay đổi, \( G \) vẫn thỏa mãn phương trình là một đường thẳng nhất định \( (y = -2x + 1) \) mà không phụ thuộc vào giá trị của \( m \).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng điểm \( G \) luôn thuộc một đường thẳng cố định \( y = -2x + 1 \) khi \( m \) thay đổi.