Viết phương trình của đường thẳng AB; BC. Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Để giải bài toán này, ta tiến hành các bước sau:

### a) Viết phương trình của đường thẳng AB và BC

1. **Xác định tọa độ các điểm A, B, C:**
- Cho các điểm:
- M(2, 1)
- N(3, -4)
- P(5, 3)

- Ta có thể chọn:
- A = M(2, 1)
- B = N(3, -4)
- C = P(5, 3)

2. **Tính phương trình đường thẳng AB:**
- Tọa độ điểm A: \( A(2, 1) \)
- Tọa độ điểm B: \( B(3, -4) \)
- Độ dốc \( k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-4 - 1}{3 - 2} = \frac{-5}{1} = -5 \)

- Phương trình đường thẳng AB có dạng:
\[
y - y_A = k_{AB}(x - x_A) \Rightarrow y - 1 = -5(x - 2)
\]
\[
\Rightarrow y = -5x + 10 + 1 \Rightarrow y = -5x + 11
\]

3. **Tính phương trình đường thẳng BC:**
- Tọa độ điểm B: \( B(3, -4) \)
- Tọa độ điểm C: \( C(5, 3) \)
- Độ dốc \( k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - (-4)}{5 - 3} = \frac{7}{2} \)

- Phương trình đường thẳng BC có dạng:
\[
y - y_B = k_{BC}(x - x_B) \Rightarrow y + 4 = \frac{7}{2}(x - 3)
\]
\[
\Rightarrow y = \frac{7}{2}x - \frac{21}{2} - 4
\]
\[
\Rightarrow y = \frac{7}{2}x - \frac{29}{2}
\]

### b) Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có thể dùng quy tắc trung điểm. Điểm D phải thoả mãn điều kiện rằng trung điểm của AC và BD phải trùng nhau.

1. **Tìm trung điểm AC:**
- \( A(2, 1) \)
- \( C(5, 3) \)
- Trung điểm \( M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + 5}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, 2 \right) \)

2. **Tìm tọa độ D:**
- Gọi D có tọa độ \( (x_D, y_D) \)
- Trung điểm của BD là:
\[
M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right)
\]
- Điều kiện:
\[
\left( \frac{3 + x_D}{2}, \frac{-4 + y_D}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, 2 \right)
\]

- Giải hệ phương trình:
1. \( \frac{3 + x_D}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow 3 + x_D = 7 \Rightarrow x_D = 4 \)
2. \( \frac{-4 + y_D}{2} = 2 \Rightarrow -4 + y_D = 4 \Rightarrow y_D = 8 \)

Vậy tọa độ điểm D là \( D(4, 8) \).

### Kết quả:
- Phương trình đường thẳng AB: \( y = -5x + 11 \)
- Phương trình đường thẳng BC: \( y = \frac{7}{2}x - \frac{29}{2} \)
- Tọa độ điểm D: \( D(4, 8) \)