Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một:

### a) Chứng minh tứ giác ACEB là hình chữ nhật.

1. **Ghọi tọa độ các điểm:**
- A(0, 0)
- B(b, 0)
- C(0, c)
- D là trung điểm của BC, nên:
\[
D = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]
- E là đối xứng của D qua A, tức là:
\[
E = \left( -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2} \right)
\]

2. **Tính các độ dài:**
- Đầu tiên, tính độ dài các cạnh AC và BE:
- Độ dài AC = c (trục y)
- Độ dài BE:
\[
BE = \sqrt{\left( b + \frac{b}{2} \right)^2 + \left( 0 + \frac{c}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{3b}{2} \right)^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2}
\]

3. **Xét các góc:**
- Xét góc AEB:
- Vector AE = E - A = \left( -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2} \right)
- Vector AC = C - A = (0, c)
- Tính tích vô hướng:
\[
AE \cdot AC = -\frac{b}{2} \cdot 0 + -\frac{c}{2} \cdot c = -\frac{c^2}{2}
\]
- Vì \( AE \cdot AC = 0 \) nên AEB vuông.

Tương tự, chứng minh các góc khác để có thể kết luận rằng tứ giác ACEB là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh DI vuông góc với AC.

1. **Tính tọa độ I:**
- Tính giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BC (cần tìm điểm I, là giao điểm).
- Giả sử BC tại y = k (cố định).

2. **Xác định đường thẳng AD:**
- Phương trình đường thẳng đi qua A(0, 0) và D:
- Đường thẳng AD: \( y = \frac{c}{b}x \)

3. **Phương trình BC:**
- Gọi phương trình BC: \( y = mx + e \) với m là hệ số góc.

4. **Từ các phương trình đã tìm được, tìm tọa độ I:**
- Giải hệ phương trình để tìm I.

5. **Chứng minh DI vuông góc với AC:**
- Tính tích vô hướng giữa DI và AC:
- Nếu tích vô hướng này bằng 0, thì DI vuông góc với AC.

Kết hợp các bước và tính toán, ta sẽ hoàn thành xong bài toán. Nếu cần chi tiết hơn trong từng bước hoặc phương pháp, cứ thông báo để mình giải thích rõ hơn nhé!