Để chứng minh rằng \( AB^2 = AC \cdot AD \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( AM \) là đường trung tuyến, và \( D \) là giao điểm của đường thẳng đi qua \( B \) và vuông góc với \( AM \) cắt \( AC \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và một số định lý hình học.

1. **Đặt các điểm**: Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \). Vì \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có:
- \( AB = b \)
- \( AC = c \)

2. **Xác định điểm \( M \)** (trung điểm của \( BC \)):
\[
B = (b, 0), C = (0, c) \Rightarrow M = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

3. **Phương trình đường thẳng \( AM \)**:
Đường trung tuyến \( AM \) đi qua \( A \) và \( M \) có hệ số góc được tính như sau:
\[
\text{slope of } AM = \frac{\frac{c}{2} - 0}{\frac{b}{2} - 0} = \frac{c}{b}
\]
Phương trình đường thẳng \( AM \) có dạng:
\[
y = \frac{c}{b}x
\]

4. **Tìm phương trình đường thẳng đi qua \( B \) và vuông góc với \( AM \)**:
Đường thẳng đi qua \( B(b, 0) \) và vuông góc với \( AM \) có hệ số góc là \( -\frac{b}{c} \) (ngược dấu và đảo ngược). Phương trình sẽ là:
\[
y - 0 = -\frac{b}{c}(x - b)
\]
Hay viết lại:
\[
y = -\frac{b}{c} x + b
\]

5. **Giải hệ phương trình để tìm \( D \)**:
Ta giải hệ phương trình giữa đường thẳng \( AC \) (từ \( A \) tới \( C \)) có phương trình \( x = 0 \) và đường thẳng \( BD \):
Thay \( x = 0 \) vào phương trình \( y = -\frac{b}{c} x + b \):
\[
y = b
\]
Vậy \( D(0, b) \).

6. **Tính \( AD \)**:
Khoảng cách \( AD \) được tính như sau:
\[
AD = \sqrt{(0-0)^2 + (b-0)^2} = b
\]

7. **Áp dụng vào công thức**:
\( AB^2 = b^2 \) và \( AC = c \):
\[
AB^2 = b^2 = AC \cdot AD = c \cdot b
\]

Bây giờ ta cần chứng minh rằng \( c \cdot b = b^2 \):
\[
AB^2 = AC \cdot AD \Rightarrow b^2 = c \cdot b
\]

Chia cả hai vế cho \( b \) (giả sử \( b \neq 0 \)):
\[
b = c
\]

Vậy nghiệm này đúng cho tam giác vuông.
Do đó, ta đã chứng minh được rằng:
\[
AB^2 = AC \cdot AD
\]

Kết luận: \( AB^2 = AC.AD \).