Để tìm giá trị của \( m \) sao cho biểu thức \( x^2 + mx + 3m \) luôn không âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \), chúng ta cần đảm bảo rằng phương trình bậc hai này có delta không dương.

Phương trình bậc hai có dạng:

\[
a = 1, \quad b = m, \quad c = 3m
\]

Delta (\( \Delta \)) của phương trình bậc hai được tính bằng công thức:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Thay các giá trị vào công thức delta:

\[
\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3m
\]
\[
\Delta = m^2 - 12m
\]

Để biểu thức luôn không âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần:

\[
\Delta \leq 0
\]

Giải bất phương trình:

\[
m^2 - 12m \leq 0
\]

Phân tích bất phương trình này:

1. Tìm nghiệm của phương trình:

\[
m^2 - 12m = 0
\]
\[
m(m - 12) = 0
\]

Nghiệm là \( m = 0 \) hoặc \( m = 12 \).

2. Vẽ đồ thị hoặc giải bất phương trình:

Bất phương trình \( m(m - 12) \leq 0 \) có nghiệm:

\[
0 \leq m \leq 12
\]

Vậy, giá trị của \( m \) sao cho \( x^2 + mx + 3m \) luôn không âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \) là:

\[
m \in [0, 12]
\]