Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

Để tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình:

\[
2x^2 + 2xy + 3y = 4y^2 + 3
\]

Ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Chuyển vế**: Đưa tất cả các hạng tử về một vế để có dạng phương trình bằng 0.

\[
2x^2 + 2xy + 3y - 4y^2 - 3 = 0
\]

Khi sắp xếp lại, ta được:

\[
2x^2 + 2xy - 4y^2 + 3y - 3 = 0
\]

2. **Công thức bậc 2**: Phương trình này theo dạng bậc hai theo \(x\):

\[
2x^2 + (2y)x + (3y - 4y^2 - 3) = 0
\]

3. **Tính delta**:

Để có nghiệm \(x\) cần có delta lớn hơn hoặc bằng 0:

\[
\Delta = (2y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3y - 4y^2 - 3)
\]

Tính toán delta:

\[
\Delta = 4y^2 - 8(3y - 4y^2 - 3) = 4y^2 - 24y + 32y^2 + 24 = 36y^2 - 24y + 24
\]

4. **Điều kiện delta**:

Đặt \(\Delta \geq 0\):

\[
36y^2 - 24y + 24 \geq 0
\]

5. **Giải bất phương trình**:

Phương trình bậc 2 này có thể được giải bằng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 24}}{2 \cdot 36}
\]

Tính toán giá trị \(D\):

\[
D = 576 - 3456 = -2880
\]

Vì \(D < 0\), bất phương trình này luôn đúng cho mọi giá trị của \(y\). Vậy:

6. **Tìm số nguyên x**:

Với bất kỳ giá trị nào của \(y\) ta phải tính giá trị của \(x\) từ phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-2y \pm \sqrt{\Delta}}{4}
\]

7. Xét từng giá trị của \(y\):

Ta có thể thử với các giá trị nguyên của \(y\) để tìm ra giá trị của \(x\).

**Lưu ý**: Phương trình có thể cho nhiều hoặc ít nghiệm tùy thuộc vào giá trị của \(y\). Hãy thử các giá trị của \(y\) từ \(-3\) đến \(3\) (hay xa hơn) và tính toán nghiệm \(x\) tương ứng.

**Ví dụ**:
- Nếu \(y = 0\): Tính nghiệm \(x\)
- Nếu \(y = 1\): Tính nghiệm \(x\)
- Nếu \(y = -1\): Tính nghiệm \(x\)

Tiếp tục như vậy cho giá trị \(y\) lớn hơn hoặc nhỏ hơn.

---
Bạn có thể sử dụng phương pháp này để tìm tất cả cặp \((x, y)\). Nếu bạn cần cụ thể nghiệm nào, hãy cho tôi biết!