Để chứng minh rằng các điểm A, B, C cùng thuộc đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó, ta thực hiện như sau:

### Chứng minh A, B, C cùng thuộc đường tròn:

1. **Tam giác ABC vuông tại A**: Theo đề bài, tam giác ABC có góc A là góc vuông (góc 90 độ).

2. **Định lý đường tròn**: Theo định lý đường tròn, một tam giác vuông có đường kính là cạnh huyền sẽ có tất cả ba đỉnh cùng thuộc một đường tròn. Cạnh huyền là BC.

3. **Cạnh huyền BC**: Căn cứ vào tính chất của tam giác vuông, ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]
Vậy BC là cạnh huyền, nên A, B, C cùng thuộc đường tròn có đường kính BC.

### Tính bán kính của đường tròn:

1. **Bán kính đường tròn**: Bán kính R của đường tròn sẽ bằng nửa độ dài của cạnh huyền BC:
\[
R = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}
\]

### Kết luận:
Các điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn, và bán kính R của đường tròn đó là 2.5 cm.