Để chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông và tam giác AMB là tam giác đều, chúng ta sẽ phân tích các yếu tố đã cho trong bài toán.

1. **Giả thiết**:
- AH là đường cao từ A xuống BC.
- AM là trung tuyến từ A đến cạnh BC.
- AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau, tức là \( \angle BAM = \angle CAM = \theta \).

2. **Tính chất của đường cao và trung tuyến**:
- M vì là trung điểm của BC nên BM = MC.
- Đường cao AH vuông góc với BC, tức là \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).

3. **Xét tam giác ABM và ACM**:
- \( \angle BAM = \theta \) và \( \angle CAM = \theta \) từ giả thiết.
- Do đó, chúng ta có \( \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 2\theta \).
- Vì AM là trung tuyến, BM = MC, ta sẽ có \( \angle ABM = \angle ACM \).
- Gọi \( \angle ABM = \angle ACM = x \).

4. **Sử dụng tổng các góc trong tam giác**:
- Xét tam giác ABM:
\[
\angle AMB + \theta + x = 180^\circ
\]
- Xét tam giác ACM:
\[
\angle AMC + \theta + x = 180^\circ
\]
- Từ đó, ta có \( \angle AMB = \angle AMC \).

5. **Công thức về tổng các góc**:
- Chúng ta biết:
\[
\angle ABC = 90^\circ - x \quad (1)
\]
\[
\angle ACB = 90^\circ - x \quad (2)
\]
- Bởi vì \( \angle ABC + \angle ACB + \angle A = 180^\circ \).

6. **Từ đó**:
- Nếu \( \angle A = 3\theta \) và \( \theta + (90^\circ - x) + (90^\circ - x) = 180^\circ \), thì có thể chứng minh rằng \( A = 90^\circ \) nếu \( 2x = 90^\circ \) và \( x = 45^\circ \) (vì \( \angle BAM = \angle CAM = 30^\circ\)).

7. **Kết luận**:
- Như vậy, tam giác ABC vuông tại A. Đã có \( AB = AC \) do \( AM \) là trung tuyến, và \( AH \) vuông nên \( AMB \) là tam giác đều vì \( AB = AM = MB \).

Qua tất cả các luận điểm trên, chúng ta có thể khẳng định rằng: Tam giác ABC là tam giác vuông tại A và tam giác AMB là tam giác đều.