CMR nếu a+b ; a^2+b^2 ; a^4+b^4 đều nguyên CMR: a^3+b^3 nguyên

Để chứng minh rằng nếu \( a+b \), \( a^2+b^2 \), và \( a^4+b^4 \) đều là số nguyên, thì \( a^3+b^3 \) cũng là số nguyên, ta có thể tiến hành như sau:

Giả sử \( a + b = n \) (là số nguyên), \( a^2 + b^2 = m \) (là số nguyên), và \( a^4 + b^4 = p \) (là số nguyên).

Chúng ta có thể sử dụng các định lý về tổng và hiệu của \( a \) và \( b \) để tìm hiểu về \( a^3 + b^3 \):

1. Ta có công thức liên hệ:
\[
a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab
\]
Vậy \( ab \) có thể được tính từ \( a^2 + b^2 \) theo công thức:
\[
ab = \frac{(a+b)^2 - (a^2 + b^2)}{2} = \frac{n^2 - m}{2}
\]

2. Ta cũng có công thức cho \( a^3 + b^3 \):
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]
Thay \( a^2 + b^2 = m \) vào công thức trên:
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(m - ab)
\]

3. Từ \( ab = \frac{n^2 - m}{2} \), ta thay vào công thức cho \( a^3 + b^3 \):
\[
a^3 + b^3 = (a+b)\left(m - \frac{n^2 - m}{2}\right)
\]
\[
= n\left(m - \frac{n^2 - m}{2}\right)
\]
\[
= n\left(\frac{2m - n^2 + m}{2}\right)
\]
\[
= n\left(\frac{3m - n^2}{2}\right)
\]

Bây giờ, nếu \( n \), \( m \) là số nguyên thì \( 3m - n^2 \) cũng là số nguyên. Do đó, \( a^3 + b^3 \) sẽ là:
\[
\frac{n(3m - n^2)}{2}
\]
Là số nguyên. Vì vậy, \( a^3 + b^3 \) cũng là số nguyên.

Kết luận: Nếu \( a+b \), \( a^2+b^2 \), và \( a^4+b^4 \) đều là số nguyên, thì \( a^3+b^3 \) cũng là số nguyên.