Để giải bất phương trình \(\frac{-x^2 - 1}{9 - 2x} \leq 0\), trước tiên ta sẽ phân tích các yếu tố trong phân số.

1. Xét tử số \(-x^2 - 1\):
- Tuyệt đối \(-x^2 - 1\) luôn âm (\(-1\)) vì \(-x^2\) là một số không dương và cộng thêm \(-1\) thì kết quả là âm.
- Do đó, tử số sẽ không bao giờ bằng 0.

2. Xét mẫu số \(9 - 2x\):
- Mẫu dương khi \(9 - 2x > 0\) hay \(x < \frac{9}{2}\).
- Mẫu âm khi \(9 - 2x < 0\) hay \(x > \frac{9}{2}\).
- Mẫu bằng 0 khi \(x = \frac{9}{2}\).

3. Phân tích dấu của biểu thức \(\frac{-x^2 - 1}{9 - 2x}\):
- Để biểu thức này không âm, cần phải tìm điều kiện để \(\frac{-x^2 - 1}{9 - 2x} \leq 0\).
- Khi tử âm và mẫu dương, biểu thức sẽ âm (\(\frac{-}{+} = -\)).
- Khi tử âm và mẫu âm, biểu thức sẽ dương (\(\frac{-}{-} = +\)).

Như đã phân tích ở trên:
- Tử luôn âm.
- Mẫu dương khi \(x < \frac{9}{2}\).

Do đó, bất phương trình \(\frac{-x^2 - 1}{9 - 2x} \leq 0\) xảy ra khi \(x < \frac{9}{2}\).

Cuối cùng, kết luận:
\[
x < \frac{9}{2}
\]