Để giải bài toán này, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm và hình dạng**:
- Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \).
- \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- Các điểm \( D \) và \( E \) là các điểm nằm vuông góc với các cạnh \( AB \) và \( AC \) tương ứng.
- \( I \) và \( K \) là trung điểm của \( MB \) và \( MC \).

2. **Phân tích hình dạng**:
- Với các điểm đã được định nghĩa, ta sẽ xem xét hình dạng của tứ giác \( DIKE \).
- Tứ giác này hình thành bởi các điểm \( D, I, K, E \).

3. **Xác định tính chất tứ giác**:
- Ta cần chứng minh xem tứ giác \( DIKE \) có thể là hình gì (như hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hay hình vuông).

### Tính chất hình học:

- Từ việc \( D \) và \( E \) đều là những điểm vuông góc với các cạnh \( AB \) và \( AC \), chúng sẽ tạo ra các góc vuông tại \( D \) và \( E \).
- Với \( M \) là trung điểm của \( BC \), thì \( I \) và \( K \) cũng sẽ giữ các tính chất liên quan đến các đoạn thẳng \( MB \) và \( MC \).

### Kết luận:
- Từ những tính chất trên, tứ giác \( DIKE \) sẽ là hình chữ nhật vì nó có hai cặp cạnh song song và hai góc vuông tại các điểm \( D \) và \( E \).

Do đó, **tứ giác \( DIKE \) là hình chữ nhật.**