Để giải phương trình \( \sin 4x + \cos 5x = 0 \), ta có thể sử dụng các định lý về lượng giác.

1. Thay thế: \( \sin 4x = -\cos 5x \).

2. Sử dụng công thức lượng giác:
\[
\sin 4x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)
\]
từ đó có thể có:
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) + \cos 5x = 0
\]

3. Sử dụng tính chất của cos:
\[
\cos A + \cos B = 0 \implies A + B = \left(2k + 1\right)\frac{\pi}{2} \quad (k \in Z)
\]

4. Giải phương trình và tìm nghiệm âm lớn nhất và dương nhỏ.

Sau khi tính toán và thay thế vào các biểu thức, ta tìm được nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất. Các chọn lựa là:

- A: \( x = -\frac{\pi}{18}; x = \frac{\pi}{2} \)
- B: \( x = -\frac{\pi}{18}; x = \frac{2\pi}{9} \)
- C: \( x = -\frac{\pi}{18}; x = \frac{\pi}{6} \)
- D: \( x = -\frac{\pi}{18}; x = \frac{\pi}{3} \)

Để tìm nghiệm, ta cần kiểm tra các đáp án. Qua quá trình giải, ta sẽ thấy:

Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:

**Đáp án đúng: B. \( x = -\frac{\pi}{18}; x = \frac{2\pi}{9} \)**.