Để giải phương trình \( \tan x = \cot x \), ta có thể sử dụng định nghĩa của các hàm lượng giác. Nhận thấy rằng \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \), ta có thể viết lại như sau:

\[
\tan^2 x = 1
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
\tan x = 1 \quad \text{hoặc} \quad \tan x = -1
\]

1. **Khi \( \tan x = 1\)**:
- Nghiệm của phương trình này là:
\[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}
\]

2. **Khi \( \tan x = -1\)**:
- Nghiệm của phương trình này là:
\[
x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}
\]

Sự kết hợp của cả hai trường hợp trên sẽ cung cấp các nghiệm chung cho phương trình ban đầu:

\[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{và} \quad x = -\frac{\pi}{4} + k\pi.
\]

### Kết luận:
Các nghiệm của phương trình \( \tan x = \cot x \) là:

- A: \( x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \)
- B: \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \)
- C: \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \) (sai)
- D: \( x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \)

**Chọn đáp án: A hoặc D.**