Để hai đồ thị của hai hàm số bậc nhất \( y = (m^2 - 3)x + m - 1 \) và \( y = x - 3 \) là hai đường thẳng song song, hệ số góc của chúng phải bằng nhau.

1. **Hàm số thứ nhất**: \( y = (m^2 - 3)x + (m - 1) \)
- Hệ số góc là \( m^2 - 3 \).

2. **Hàm số thứ hai**: \( y = x - 3 \)
- Hệ số góc là \( 1 \).

Để hai đường thẳng song song, ta đặt hai hệ số góc bằng nhau:

\[
m^2 - 3 = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
m^2 - 3 - 1 = 0
\]
\[
m^2 - 4 = 0
\]
\[
m^2 = 4
\]
\[
m = 2 \quad \text{hoặc} \quad m = -2
\]

Vậy các giá trị của \( m \) khiến cho hai đường thẳng song song là \( m = 2 \) và \( m = -2 \).