Để chứng minh rằng một bất phương trình có nghiệm với mọi \( x \), chúng ta cần kiểm tra điều kiện của nó. Ta sẽ xem xét từng bất phương trình trong hình ảnh.

### a) Bất phương trình: \( x^2 + x + 1 > 0 \)

Để chứng minh rằng bất phương trình này đúng với mọi \( x \), ta có thể khảo sát hàm bậc hai \( f(x) = x^2 + x + 1 \).

1. **Tính delta**:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]
Vì \( \Delta < 0 \), hàm bậc hai này không có nghiệm thực và luôn dương.

2. **Kết luận**: Vì \( f(x) \) không cắt trục hoành và hàm số này luôn có độ cao dương, nên bất phương trình \( x^2 + x + 1 > 0 \) đúng với mọi \( x \).

### b) Bất phương trình: \( -x^2 + 3x - 3 < 0 \)

Để giải bất phương trình này, chúng ta chuyển sang phương trình:
\[
-x^2 + 3x - 3 = 0 \implies x^2 - 3x + 3 = 0
\]

1. **Tính delta**:
\[
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3
\]
Không có nghiệm thực, suy ra hàm số \( -x^2 + 3x - 3 \) luôn có tính chất.

2. **Giá trị của hàm tại \( x = 0 \)**:
\[
f(0) = -0^2 + 3 \cdot 0 - 3 = -3 < 0
\]
Hàm số luôn dưới trục hoành và vì vậy luôn bé hơn 0 với mọi \( x \) trong miền thực.

### c) Bất phương trình: \( (m^2 - 4m + 3)x + m - m^2 < 0 \)

Để bất phương trình này có nghiệm với mọi \( x \), hệ số \( (m^2 - 4m + 3) \) phải bằng 0.

1. **Giải phương trình**:
\[
m^2 - 4m + 3 = 0 \implies (m-3)(m-1) = 0 \implies m = 1 \text{ hoặc } m = 3
\]

2. **Xét điều kiện với \( m \)**: Nếu \( m = 1 \) hoặc \( m = 3 \), ta sẽ thỏa mãn cho mọi \( x \).

### Bổ sung:
Còn lại các bất phương trình khác cũng tương tự, bạn có thể áp dụng các phương pháp như phân tích hệ số, khảo sát hàm số, tính delta, và kiểm tra tính giới hạn để xác định xem bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị \( x \) hay không.

Nếu cần hỗ trợ thêm với từng bài cụ thể khác, bạn hãy cho tôi biết nhé!