Để chứng minh các phần a và b như đã nêu, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và tia phân giác.

### Phần a: Chứng minh rằng tam giác ABE = tam giác AEC

1. **Giả thiết**: Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nghĩa là \( AB = AC \). Đặt \( BE = CE \) do AE là tia phân giác của góc BAC.

2. **Sử dụng tính chất của tam giác cân**:
- Trong tam giác ABC, có \( AB = AC \).
- Tia phân giác AE, do đó, có:
\[
\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = 1 \Rightarrow BE = CE.
\]

3. **Cạnh chung**:
- Hai tam giác ABE và AEC có cạnh chung là AE.

4. **Sử dụng điều kiện Cong bằng (Z)**:
- Từ các điều kiện trên, khi có \( AB = AC \) và \( BE = CE \), kết hợp với AE chung, ta có:
- Tam giác ABE = tam giác AEC (theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh - C-C-C).

### Phần b: AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Để chứng minh AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC, ta cần chỉ ra rằng AE vuông góc với BC và AE chia BC thành hai đoạn bằng nhau.

1. **Xét đoạn thẳng BC**:
- Đặt M là trung điểm của BC. Ta có \( BM = MC \).

2. **Chứng minh AE vuông góc với BC**:
- Vì ABC cân tại A và AE là tia phân giác của góc BAC nên theo định lý phân giác, ta biết rằng AE cũng sẽ cắt BC tại M (trung điểm), và từ đó AE vuông góc với BC.

3. **Hai đoạn BM và MC**:
- Vì M là trung điểm của BC, theo nghĩa đoạn thẳng, ta có:
\[
BM = MC.
\]

Tất cả những điều này cho thấy rằng AE chia đôi đoạn BC thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với BC, do đó AE là đường trung trực của BC.

### Kết luận

- Ta đã chứng minh rằng \( \triangle ABE = \triangle AEC \) và AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.