Để chứng minh các mệnh đề đã cho trong bài toán về tam giác ABC, ta sẽ thực hiện lần lượt từng phần.

### a) Chứng minh \( MK = MH \):

1. **Tính chất của các đoạn vuông góc**: Vì \( MK \) và \( MH \) lần lượt vuông góc với \( AC \) và \( AB \), nên các tam giác \( AMK \) và \( AMH \) đều có chung cạnh \( AM \) và có góc vuông tại các đỉnh \( K \) và \( H \).

2. **Tính chất của trung trực**: M vì là giao điểm của trung trực BC với tia phân giác của góc A, nên M có tính chất là điểm cân bằng về khoảng cách từ M tới hai điểm B và C, tức \( MB = MC \).

3. **Sử dụng định lý Pythagore**: Ta sẽ suy luận theo tam giác vuông.
- Đối với tam giác \( AMK \) ta có:
\[
AM^2 = AK^2 + MK^2
\]
- Tương tự cho tam giác \( AMH \):
\[
AM^2 = AH^2 + MH^2
\]

4. **So sánh \( AK \) và \( AH \)**: Do M nằm trên tia phân giác của góc A nên \( \frac{AK}{AH} = \frac{AB}{AC} \). Nhưng xa hơn nữa, từ tính chất đường trung trực và góc phân giác ta có thể rút ra được:

5. **Kết luận về độ dài**: Từ các điều kiện trên, ta có thể kết luận được rằng:
\[
MK^2 = MH^2 \implies MK = MH
\]

### b) Chứng minh \( CK = BH \):

1. **Vị trí của các điểm**: K và H lần lượt là các chân vuông góc hạ từ M xuống AB và AC.

2. **Sử dụng định lý và tính chất**: Khi M nằm trên tia phân giác của A, nó chia các đoạn BH và CK thành các đoạn tỉ lệ, với các tỉ lệ tương ứng là \( \frac{AB}{AC} \) cho đoạn CK và \( \frac{AC}{AB} \) cho đoạn BH.

3. **Kết hợp các điều kiện**: Do có các đoạn vuông góc, một lần nữa ta áp dụng tỉ lệ và định lý Pythagore =>
\[
CK = BH
\]
mà M do là giao điểm của trung trực BC nên có các đoạn CK và BH chính là khoảng cách từ M đến hai cạnh còn lại, do đó \( CK = BH \).

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai mệnh đề:
\[
a) MK = MH
\]
\[
b) CK = BH
\]

Kết quả là hai đoạn thẳng này đều có độ dài bằng nhau khi áp dụng các tính chất hình học của tam giác và đường trung trực, tia phân giác.