Cho tam giác ABC trung trực BC cắt tia phân giác của góc A tại M. từ M lần lượt vẽ MH, MK vuông góc với AB,AC

Để chứng minh các tọa độ MK = MH và CK = BH, ta có thể sử dụng các tính chất của tâm giác và một số định nghĩa cơ bản trong hình học.

### a) Chứng minh MK = MH

1. **Tính chất của tia phân giác**: Tia phân giác của góc A tại M chia cạnh BC thành hai đoạn tỷ lệ với độ dài các cạnh kề bên:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}
\]

2. **Vì M là điểm trên tia phân giác**, nên đoạn thẳng từ M đến chân vuông góc H trên AB và đoạn thẳng từ M đến chân vuông góc K trên AC có những mối tương quan đặc trưng.

3. **Tam giác MHN và MKP**: Do MH ⊥ AB và MK ⊥ AC, ta có hai tam giác vuông MHN và MKP theo quy tắc Pytago:
- Ta có MH = MN và MK = MP.

4. **Sử dụng tính chất cùng chiều**: Nếu AB và AC là hai cạnh kề nhau của góc A, thì MH = MK vì chúng đều vuông góc với hai cạnh đó.

5. **Kết luận**: Do đó,
\[
MK = MH
\]


### b) Chứng minh CK = BH

1. **Sử dụng tính chất đoạn thẳng**: Đồ thị của hai đoạn BK và CH đều là các đường cao của phần tam giác, khi M nằm trên tia phân giác, các đoạn này sẽ tương tác với hai đoạn thẳng tương ứng tạo thành.

2. **Áp dụng định lý Pitago**: Ở tam giác MHK có MH vuông góc với AB và MK vuông góc với AC, ta có:

- Bằng chứng dựa trên hai tam giác cùng xếp:
- MB^2 + BH^2 = MH^2 (1)
- MC^2 + CK^2 = MK^2 (2)

3. **Sử dụng tính chất của tỷ lệ**: Do M nằm trên tia phân giác, và CK và BH đối xứng qua đường biên của tam giác ABC, ta có BK = AC, hay như nhau, sẽ có tỷ lệ giữa các đoạn trực tiếp gây ra.

4. **Kết luận**: Suy ra:
\[
CK = BH
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được hai yêu cầu: a) \( MK = MH \) và b) \( CK = BH \).