Để chứng minh các kết luận trong bài toán đã cho, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và trung tuyến.

**Cho ΔABC có AB < AC, trung tuyến AM. Kẻ BD, CE vuông góc với AM. Chứng minh:**

### a) Chứng minh: BD // CE và BD = CF.

1. **Gọi O là trung điểm của BC**: Vì AM là trung tuyến nên \( AM = \frac{1}{2}BC \) và \( AO = OM \).

2. **Xét hai tam giác vuông AOB và AOC**:
- AM là trung tuyến nên \( AO = \frac{1}{2}AC \) và \( AO = \frac{1}{2}AB \).
- Vì AB < AC => AO < AO (O là trung điểm).

3. **Góc vuông**: Ta có \( \angle BOD = \angle COE = 90^\circ \).

4. **Suy ra**: Hai tam giác ABO và ACO có \( AB = AC \) và \( AO = AO \), do đó theo định lý Pitago ta có:
- \( BD // CE \) (góc tương ứng tạo bởi đường thẳng vuông góc và trung tuyến giống nhau).

5. **Từ đó**: Ta có \( BD = CF \).

### b) Chứng minh: CD // BE và CD = BF.

1. **Tương tự như trên**: Gọi F là trung điểm của AB.

2. **Sử dụng tính chất của trung tuyến**:
- CD vuông góc với AM và BE vuông góc với AM.
- Ta thấy \( \angle CDF = \angle BEF = 90^\circ \).

3. **Suy ra**: Hai tam giác BCD và AEF có \( BC = AC \) (do BC = AC là điều đã làm trước đó).

4. **Kết luận từ tam giác BCD và AEF cho ta kết luận rằng**:
- \( CD // BE \) và \( CD = BF \).

Như vậy, bài toán đã được chứng minh xong.