Để rút gọn biểu thức:

\[
\frac{48^2 \cdot 8^5 \cdot 100^9}{12^2 \cdot 2^{15} \cdot 4^2}
\]

Trước tiên, chúng ta sẽ phân tích các số thành thừa số nguyên tố:

- \( 48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \Rightarrow 48^2 = (2^4 \cdot 3)^2 = 2^8 \cdot 3^2 \)
- \( 8 = 2^3 \Rightarrow 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15} \)
- \( 100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 \Rightarrow 100^9 = (2^2 \cdot 5^2)^9 = 2^{18} \cdot 5^{18} \)

Kết hợp lại, ta có:

\[
48^2 \cdot 8^5 \cdot 100^9 = (2^8 \cdot 3^2) \cdot (2^{15}) \cdot (2^{18} \cdot 5^{18}) = 2^{8 + 15 + 18} \cdot 3^2 \cdot 5^{18} = 2^{41} \cdot 3^2 \cdot 5^{18}
\]

Bây giờ, xét phần dưới của biểu thức:

- \( 12 = 3 \cdot 2^2 \Rightarrow 12^2 = (3 \cdot 2^2)^2 = 3^2 \cdot 2^4 \)
- \( 2^{15} \) không cần rút gọn.
- \( 4 = 2^2 \Rightarrow 4^2 = (2^2)^2 = 2^4 \)

Kết hợp lại, ta có:

\[
12^2 \cdot 2^{15} \cdot 4^2 = (3^2 \cdot 2^4) \cdot 2^{15} \cdot 2^4 = 3^2 \cdot 2^{4 + 15 + 4} = 3^2 \cdot 2^{23}
\]

Bây giờ, ta thay vào biểu thức ban đầu:

\[
\frac{2^{41} \cdot 3^2 \cdot 5^{18}}{3^2 \cdot 2^{23}} = \frac{2^{41}}{2^{23}} \cdot \frac{3^2}{3^2} \cdot 5^{18} = 2^{41 - 23} \cdot 1 \cdot 5^{18} = 2^{18} \cdot 5^{18}
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
2^{18} \cdot 5^{18} = (2 \cdot 5)^{18} = 10^{18}
\]

Vậy biểu thức rút gọn là:

\[
10^{18}
\]